Matlab® para a Engenharia (12)

Resolução de Integrais Definidas:

Faz-se como se fosse resolver a Integral Indefinida, só que após digitar a função que será integrada, digitamos a incógnita que será substituída pelos valores e colocamos os valores do limite inferior da Integral e do limite superior da Integral, separados entre vírgulas:

>> int(exp(x),x,2,4)

 ans =

 exp(4) - exp(2)

Observação: Sabemos que em determinados casos, não podemos aplicar diretamente os valores do limite inferior da Integral e do limite superior da Integral, pois haverá erro. Um exemplo disso é: Calcule a área delimitada pela função sin(x), no intervalo de 0 a 2π, vejamos:

>> int(sin(x),x,0,2*pi)

 ans =

 0

A resposta deu 0, mas não existe área zero, isso porque o gráfico do sin(x) ora o sinal da função é + outro - dessa forma, para definir sua área nesse intervalo temos que dividir a integral em partes, existem várias formas de fazer, vou demonstrar da mais simples: integramos de 0 a π e multiplicamos o resultado por 2.

>> 2*int(sin(x),x,0,pi)

 ans =

 4

Outros Exemplos:

>> int(x*log(x),x,0.5,2)

 ans =

 (17*log(2))/8 - 15/16

Lembrete: log no MatLab® é o log na base e (ln) da calculadora.

Por mais que o resultado acima não é zero, a interpretação de área da função no intervalo acima dado está incorreta, devido ao fato dos sinais da função. Por isso, é importante fazer o estudo do sinal da função para resolver a integral definida, vejamos o gráfico dessa função:

Vamos resolver a integral de 0 a 1, negativa, e somar com a integral de 1 a 2.

>> -int(x*log(x),x,0.5,1)+int(x*log(x),x,1,2)

 ans =

 log(4) - log(2)/8 - 9/16

Count On Me (Bruno Mars)

If you ever find yourself stuck in the middle of the sea,

I'll sail the world to find you

If you ever find yourself lost in the dark and you

can't see,

I'll be the light to guide you

Find out what we're made of

What we are called to help our friends in need

You can count on me like one, two, three

I'll be there

And I know when I need it I can count on you like

Four, three, two

And you'll be there

Cause that's what friends are supposed to do,

Oh yeah

Wooooh, wooooh

If you're tossing and you're turning

and you just can't fall asleep

I'll sing a song beside you

And if you ever forget how much you really mean to me

Everyday I will remind you

Oh

Find out what we're made of

When we are called to help our friends in

need.

MatLab® para Engenharia (11)

Resolução de Integrais Indefinidas:

Continuamos a utilização do comando syms, pois ainda estamos utilizando variáveis e expressões simbólicas.

Os passos de resolução de integral é como os de derivada, só que invés de usarmos o comando diff (de derivada), utilizamos o comando int (de integral). Veja como é simples:

>> int(x^3-2*x^2+8)

ans =

(x*(3*x^3 - 8*x^2 + 96))/12

 

>> int(1/x)

ans =

log(x)

 

>> int((x^2)/((x^3-2)^(1/2)))

ans =

(2*(x^3 - 2)^(1/2))/3

 

>> int((exp(cos(x)))*sin(x))

ans =

-exp(cos(x))

 

>> int(coth(2*x))

ans =

log(sinh(2*x))/2

 

>> int(log(x^2))

ans =

x*(log(x^2) - 2)

 

>> int(cos(x)*exp(x))

ans =

(exp(x)*(cos(x) + sin(x)))/2

 

>> int((sinh(2*x))*(exp(x)))

ans =

1/(2*exp(x)) + exp(3*x)/6

 

Integração dupla: Faz-se como em resolução de derivadas de ordem superior:

>> int(int(x^2))

ans =

x^4/12

 

>> int(int(cos(2*x)))

ans =

sin(x)^2/2 - 1/4

 

>> int(int(log(x)))

ans =

(x^2*(2*log(x) - 3))/4

MatLab® para Engenharia (10)

Resolução de Derivadas:

Continuamos a utilização do comando syms, pois ainda estamos utilizando variáveis e expressões simbólicas.

O comando de resolução de derivada é diff. Basta digitar este comando, e entre parêntesis a função que queremos derivar. Veja como é simples:

>> diff(x^2+3)

ans =

2*x

 

>> diff(x^3*cos(x))

ans =

3*x^2*cos(x) - x^3*sin(x)

 

>> diff(cos(x)*exp(2*x))

ans =

2*exp(2*x)*cos(x) - exp(2*x)*sin(x)

 

>> diff(sec(x))

ans =

sin(x)/cos(x)^2

 

>> diff((sinh(x^2-1))/(cos(x+2)))

ans =

(2*x*cosh(x^2 - 1))/cos(x + 2) + (sin(x + 2)*sinh(x^2 - 1))/cos(x + 2)^2

>> diff(exp((x^2-2)^(1/2)))

ans =

(x*exp((x^2 - 2)^(1/2)))/(x^2 - 2)^(1/2)

 

Derivadas de ordem superior:

Para a resolução de derivadas de ordem superior, procedemos com outro comando diff na frente, observe:

Derivada de ordem 2:

>> diff(diff(exp(2*x)))

ans =

4*exp(2*x)

Derivada de ordem 3:

>> diff(diff(diff(sin(x))))

ans =

-cos(x)

Derivada de ordem 4:

>> diff(diff(diff(diff(log(x)))))

ans =

-6/x^4

E assim por diante...

MatLab® para Engenharia (9)

Substituição de Valores de incógnitas em suas expressões, para conferência de resultado.

Nas postagens anteriores, pudemos ver sobre a resolução de equações, inequações e sistemas de equações. Contudo, para confirmar o resultado, fazemos a substituição dos valores encontrados, nas respectivas incógnitas; e o MatLab possui um comando para realizar estas operações, esse comando é o subs, ele também nos serve quando queremos atribuir valores de incógnitas a função.

Lembrando sempre que as variáveis simbólicas têm que terem sidas declaradas, como já vimos anteriormente. Digitamos primeiramente o comando subs, em seguida abrimos parêntesis, escrevemos a função, separamos por vírgula e escrevemos entre chaves a(s) incógnita(s) que queremos substituir separados por vírgulas, separamos por vírgula e escrevemos da mesma forma, entre chaves, os valores das respectivas incógnitas separados por vírgulas e fechamos os parêntesis e damos o comando. Vejamos abaixo como fica:

>> subs(x^2+(5*x)-9,{x},{3})

ans =

15

Obs.: Neste caso de apenas uma incógnita pode ou não utilizar as chaves todavia, com mais incógnitas é necessário sua utilização, vejamos:

>> subs(x^2+2*y,{x,y},{13,7})

ans =

183

 

>> subs(-2*a-2*b-2*c+d,{a,b,c,d},{-2/9,1/3,-1,2/9})

ans =

2

 

Resumo das funções para manipulação de expressões algébricas:

Abaixo segue um resumo das funções para manipulação de expressões algébricas:

compose(f,g) → determina a composta f(g(x)).

expand(expr) → expande uma expressão expr.

finverse(expr) → determina a inversa funcional da expressão expr.

pretty(expr) → exibe a expressão expr numa forma mais bonita.

simple(expr) → procura encontrar uma forma mais simples de escrever uma

expressão expr.

simplify(expr) → simplifica a expressão expr.

solve(expr) → acha a(s) solução(es) da equação expr = 0.

subs(expr,x,a) → substitui na expressão expr a variável x por a.

syms x y z a b → define as variáveis simbólicas x, y, z, a e b.

Existem várias outras funções para manipulação de expressões algébricas. Você pode obter informações sobre elas digitando help symbolic. Uma função interessante que mostra as capacidades do MATLAB em tratar com funções matemáticas é funtool que é uma calculadora para funções.

Just The Way You Are - Bruno Mars

Uma das Músicas mais belas que já ouviu. O clip tbm é mto foda, vale a pena ver.

Oh her eyes, her eyes

Make the stars look like they're not shining

Her hair, her hair

Falls perfectly without her trying

She's so beautiful

And I tell her every day

Yeah I know, I know

When I compliment her

She won't believe me

And it's so, it's so

Sad to think she don't see what I see

But every time she asks me do I look okay

I say

When I see your face

There's not a thing that I would change

'Cause you're amazing

Just the way you are

And when you smile,

The whole world stops and stares for a while

'Cause girl you're amazing

Just the way you are

Her lips, her lips

I could kiss them all day if she'd let me

Her laugh, her laugh

She hates but I think it's so sexy

She's so beautiful

And I tell her every day

Oh you know, you know, you know

I'd never ask you to change

If perfect is what you're searching for

Then just stay the same

So don't even bother asking

If you look okay

You know I'll say

When I see your face

There's not a thing that I would change

'Cause you're amazing

Just the way you are

And when you smile

The whole world stops and stares for a while

'Cause girl you're amazing

Just the way you are

The way you are

The way you are

Girl you're amazing

Just the way you are

When I see your face

There's not a thing that I would change

'Cause you're amazing

Just the way you are

And when you smile,

The whole world stops and stares for a while

'Cause girl you're amazing

Just the way you are

Hoje aprendi que é preciso deixar que a vida te despenteie, por isso decidi aproveitar a vida com mais intensidade... 

E o que é realmente bom dessa vida, despenteia... 

Rir às gargalhadas, despenteia. 

Viajar, voar, correr, entrar no mar, despenteia. 

Beijar à pessoa amada, despenteia. 

Brincar, despenteia. 

Cantar até ficar sem ar, despenteia. 

Dançar até duvidar se foi boa idéia colocar aqueles saltos gigantes essa noite, deixa seu cabelo irreconhecível... 

Então, como sempre, cada vez que nos vejamos eu vou estar com o cabelo bagunçado... 

mas pode ter certeza que estarei passando pelo momento mais feliz da minha vida.